Persamaan lingkaran dalam rumus dan cara menghitungnya

Artikel ini akan membahas secara mendalam tentang persamaan lingkaran, konsep mendasar dalam geometri analitik. Kami akan secara menyeluruh memeriksa formula terkait, metode perhitungan yang efektif, serta berbagai variasi masalah yang sering muncul. Pemahaman yang baik tentang persamaan lingkaran akan sangat membantu dalam memecahkan berbagai masalah matematika dan fisika yang melibatkan bentuk geometri ini.

Memahami konsep dasar lingkaran

Lingkaran, dalam definisi geometrisnya, adalah seperangkat semua titik yang memiliki jarak yang sama dari titik tengah. Jarak yang sama ini disebut jari -jari lingkaran. Konsep sederhana ini menjadi dasar untuk pengembangan persamaan lingkaran, yang memungkinkan kita untuk menggambarkan lingkaran aljabar.

Dalam koordinat Cartesian, lingkaran dapat diwakili oleh persamaan yang menghubungkan koordinat x dan y dari setiap titik dalam lingkaran dengan koordinat tengah lingkaran (a, b) dan jari -jari r. Persamaan ini memungkinkan kita untuk menentukan apakah suatu titik terletak pada lingkaran atau tidak, serta untuk menghitung berbagai sifat lingkaran seperti area dan lingkar.

Baca juga: Persamaan Kuadratik: Formula dan Contoh Penyelesaian

Persamaan Lingkaran memiliki dua bentuk utama: Persamaan Lingkaran Standar (atau Persamaan Pusat) dan Persamaan Lingkaran Umum. Persamaan standar lebih mudah digunakan ketika kita mengetahui koordinat pusat dan jari -jari lingkaran, sedangkan persamaan umum lebih berguna ketika kita diberikan informasi lain tentang lingkaran, seperti tiga titik yang terletak di lingkaran.

Persamaan Lingkaran Standar (tengah)

Persamaan lingkaran standar, juga dikenal sebagai persamaan pusat, adalah bentuk persamaan lingkaran yang paling umum dan mudah dimengerti. Persamaan ini dinyatakan sebagai:

(x – a) ² + (y – b) ² = r²

Baca juga: Formula Limas: Memahami geometri dengan mudah

Di mana:

• (x, y) adalah koordinat dari setiap titik dalam lingkaran.
• (a, b) adalah koordinat pusat lingkaran.
• R adalah jari -jari lingkaran.

Persamaan ini didasarkan pada teorema Pythagoras. Jarak antara titik (x, y) dalam lingkaran dan pusat lingkaran (a, b) selalu sama dengan jari -jari r. Jarak ini dapat dihitung menggunakan rumus jarak:

√ ((x – a) ² + (y – b) ²) = r

Dengan menyimpulkan kedua sisi persamaan, kami mendapatkan persamaan lingkaran standar.

Contoh:

Lingkaran memiliki pusat di (2, -3) dan jari 5. Kemudian, persamaan lingkaran standar adalah:

Baca juga: Volume Piramida: Formula dan Contoh dalam Masalah Matematika

(x – 2) ² + (y + 3) ² = 25

Persamaan ini dapat digunakan untuk menentukan apakah suatu titik terletak pada lingkaran. Misalnya, titik (5, 1) terletak di lingkaran karena:

(5 – 2) ² + (1 + 3) ² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

Sedangkan titik (1, -1) tidak terletak di lingkaran karena:

(1-2) ² + (-1 + 3) ² = (-1) ² + 2² = 1 + 4 = 5 ≠ 25

Persamaan Lingkaran Umum

Persamaan lingkaran umum adalah bentuk persamaan lingkaran yang lebih kompleks, tetapi lebih fleksibel. Persamaan ini dinyatakan sebagai:

x² + y² + kapak + oleh + c = 0

Di mana a, b, dan c adalah konstanta.

Persamaan lingkaran umum dapat dikonversi menjadi persamaan lingkaran standar menggunakan metode komplemen kuadratik. Proses ini melibatkan pengelompokan kelompok etnis X dan Y, kemudian menambahkan dan mengurangi konstanta yang sesuai untuk membentuk kotak yang sempurna.

Baca juga: Hitung volume piramida rumus dan pertanyaan sampel

Langkah -langkah untuk mengubah persamaan umum menjadi persamaan standar:

1. Kelompokkan Suku X dan Y: (x² + kapak) + (y² + by) + c = 0
2. Lengkapi kuadrat untuk suku x: (x² + ax + (a/2) ²) + (y² + oleh) + c – (a/2) ² = 0
3. Lengkapi kuadrat untuk y: (x² + ax + (a/2) ²) + (y² + by + (b/2) ²) + c – (a/2) ² – (b/2) ² = 0
4. Factor Perfect Squares: (x + a/2) ² + (y + b/2) ² = (a/2) ² + (b/2) ² – c

Dari persamaan standar yang diperoleh, kita dapat menentukan pusat lingkaran dan jari:

• Circle Center: (-A/2, -B/2)
• Lingkaran Radius: √ ((a/2) ² + (b/2) ² – c)

Contoh:

Ubah persamaan lingkaran umum berikut menjadi persamaan standar:

x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0

1. Group Ethnic X dan Y: (x² – 4x) + (y² + 6y) – 12 = 0
2. Lengkapi kuadrat untuk suku x: (x² – 4x + 4) + (y² + 6y) – 12 – 4 = 0
3. Lengkapi kuadrat untuk y: (x² – 4x + 4) + (y² + 6y + 9) – 12 – 4 – 9 = 0
4. Factor Perfect Squares: (x – 2) ² + (y + 3) ² = 25

Dari persamaan standar yang diperoleh, kita dapat menentukan pusat lingkaran dan jari:

• Circle Center: (2, -3)
• Jari lingkaran: √25 = 5

Baca juga: Formula untuk luas permukaan penjelasan piramida persegi panjang

Tentukan persamaan lingkaran dari informasi yang diketahui

Seringkali, kami tidak diberi persamaan lingkaran secara langsung, tetapi kami diberi informasi lain tentang lingkaran, seperti koordinat dan jari tengah, atau tiga titik yang terletak di lingkaran. Dalam hal ini, kita perlu menggunakan informasi yang disediakan untuk menentukan persamaan lingkaran.

1. Dikenal pusat dan jari:

Jika kita tahu koordinat pusat lingkaran (a, b) dan jari -jari R, kita dapat secara langsung menggunakan persamaan lingkaran standar:

(x – a) ² + (y – b) ² = r²

2. Tiga poin yang diketahui di lingkaran:

Jika kita tahu tiga titik yang terletak di lingkaran, kita dapat menggunakan metode substitusi untuk menentukan persamaan lingkaran umum. Misalnya ketiga poinnya adalah (x₁, y₁), (x₂, y₂), dan (x₃, y₃). Kami mengganti koordinat ketiga titik ini ke dalam persamaan Lingkaran Umum:

x₁² + y₁² + ax₁ + by₁ + c = 0

x₂² + y₂² + ax₂ + by₂ + c = 0

x₃² + y₃² + ax₃ + by₃ + c = 0

Kami mendapatkan sistem tiga persamaan linier dengan tiga variabel (A, B, dan C). Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini untuk menemukan nilai a, b, dan C. Setelah kita menemukan nilai a, b, dan c, kita dapat mengganti mereka ke dalam persamaan lingkaran umum untuk mendapatkan persamaan lingkaran.

Baca juga: Konsep dan contoh seri geometri dalam matematika

Contoh:

Tentukan persamaan lingkaran melalui titik (1, 1), (5, -1), dan (-2, 0).

Ganti koordinat ketiga titik ke dalam persamaan Lingkaran Umum:

1² + 1² + a (1) + b (1) + c = 0 => a + b + c = -2

5² + (-1) ² + a (5) + b (-1) + c = 0 => 5a -b + c = -26

(-2) ² + 0² + a (-2) + b (0) + c = 0 => -2a + c = -4

Lengkapi sistem persamaan linier ini untuk mendapatkan nilai A, B, dan C. Salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan ini adalah dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi.

Dari persamaan ketiga, kita mendapatkan c = 2a – 4. Pengganti ini menjadi persamaan pertama dan kedua:

A + b + (2a – 4) = -2 => 3a + b = 2

5a – b + (2a – 4) = -26 => 7a – b = -22

Tambahkan dua persamaan ini untuk menghilangkan B:

10a = -20 => a = -2

Pengganti A = -2 ke dalam Persamaan 3A + B = 2:

3 (-2) + b = 2 => b = 8

Pengganti A = -2 ke dalam Persamaan C = 2A – 4:

C = 2 (-2) -4 => c = -8

Jadi, persamaan lingkaran umum adalah:

x² + y² – 2x + 8y – 8 = 0

Untuk mengubahnya ke persamaan standar, kami menyelesaikan kuadrat:

(x² – 2x + 1) + (y² + 8y + 16) – 8 – 1 – 16 = 0

(x – 1) ² + (y + 4) ² = 25

Pusat lingkaran adalah (1, -4) dan jari -jari adalah 5.

Baca juga: Formula seri geometri dan contoh masalah praktis

Penerapan Persamaan Lingkaran

Persamaan Circle memiliki banyak aplikasi di berbagai bidang, termasuk:

• Matematika: Persamaan lingkaran digunakan dalam geometri analitik untuk mempelajari sifat -sifat lingkaran, seperti area, keliling, dan persamaan garis singgung.
• Fisika: Persamaan lingkaran digunakan untuk menggambarkan gerakan melingkar, seperti gerakan planet di sekitar matahari atau gerakan partikel dalam medan magnet.
• Teknik: Persamaan lingkaran digunakan dalam desain berbagai struktur, seperti jembatan, terowongan, dan roda gigi.
• Grafik Komputer: Persamaan lingkaran digunakan untuk menggambar lingkaran dan kurva melingkar di layar komputer.
• Navigasi: Persamaan lingkaran digunakan dalam sistem navigasi untuk menentukan posisi dan arah.

Contoh aplikasi:

1. Tentukan jarak terdekat antara titik dan lingkaran:

Misalkan kita memiliki titik p (x₀, y₀) dan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari -jari r. Jarak terdekat antara titik P dan lingkaran adalah jarak antara titik P dan pusat lingkaran dikurangi jari -jari lingkaran:

D = √ ((x₀ – a) ² + (y₀ – b) ²) – r

Jika d

Jika d = 0, maka titik p ada di lingkaran.

Jika d> 0, maka titik P berada di luar lingkaran.

Baca juga: Jaring balok konsep dasar dalam geometri

2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran:

Persamaan garis singgung lingkaran pada titik (x₁, y₁) dalam lingkaran (x – a) ² + (y – b) ² = r² adalah:

(x₁ – a) (x – a) + (y₁ – b) (y – b) = r²

Persamaan ini dapat digunakan untuk menentukan persamaan singgung lingkaran pada titik mana pun di lingkaran.

Pertanyaan Praktek dan Diskusi

Berikut adalah beberapa contoh pertanyaan olahraga tentang persamaan lingkaran dan diskusi mereka:

Masalah 1:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada (0, 0) dan memiliki jari -jari 3.

Diskusi:

Karena pusat lingkaran adalah (0, 0), maka a = 0 dan b = 0. Jari -jari lingkaran adalah 3, lalu r = 3. Substitusi nilai -nilai ini ke dalam persamaan lingkaran standar:

(x – 0) ² + (y – 0) ² = 3²

x² + y² = 9

Jadi, persamaan lingkaran adalah x² + y² = 9.

Masalah 2:

Tentukan pusat dan jari -jari lingkaran dengan persamaan x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0.

Diskusi:

Ubah persamaan lingkaran umum ini menjadi persamaan standar dengan menyelesaikan kuadrat:

(x² – 6x) + (y² + 4y) – 12 = 0

(x² – 6x + 9) + (y² + 4y + 4) – 12 – 9 – 4 = 0

(x – 3) ² + (y + 2) ² = 25

Dari persamaan standar ini, kita dapat menentukan pusat dan jari -jari lingkaran:

Circle Center: (3, -2)

Jari lingkaran: √25 = 5

Masalah 3:

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 pada titik (3, 4).

Diskusi:

Persamaan lingkaran adalah x² + y² = 25, yang berarti pusat lingkaran adalah (0, 0) dan jari -jari adalah 5. titik (3, 4) terletak di lingkaran karena 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

Gunakan persamaan singgung lingkaran:

(x₁ – a) (x – a) + (y₁ – b) (y – b) = r²

(3 – 0) (x – 0) + (4 – 0) (y – 0) = 25

3x + 4y = 25

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran pada titik (3, 4) adalah 3x + 4y = 25.

Kesimpulan

Persamaan Circle adalah alat yang ampuh untuk menggambarkan dan menganalisis lingkaran dalam geometri analitik. Pemahaman yang baik tentang persamaan lingkaran standar dan umum, serta metode untuk berubah antara kedua bentuk ini, sangat penting untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika dan fisika yang melibatkan lingkaran. Dengan menguasai konsep -konsep ini, Anda akan dapat dengan mudah menentukan persamaan lingkaran informasi yang diketahui, menghitung properti lingkaran, dan menerapkan persamaan lingkaran dalam berbagai aplikasi praktis.

Selain itu, pertanyaan praktik yang beragam akan membantu memperkuat pemahaman Anda tentang kesetaraan lingkaran dan meningkatkan kemampuan Anda untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks. Jangan ragu untuk menemukan sumber pembelajaran tambahan, seperti buku teks, tutorial video, dan situs web interaktif, untuk memperdalam pengetahuan Anda tentang topik ini.

Semoga artikel ini berguna bagi Anda dalam memahami persamaan lingkaran dan aplikasinya. Selamat belajar dan semoga sukses! (I-2)