Formula seri geometri dan contoh masalah praktis

Dalam matematika, seri geometris memainkan peran penting sebagai salah satu konsep mendasar yang sering diterapkan di berbagai bidang. Seri geometri adalah urutan angka di mana masing -masing suku diperoleh dari istilah sebelumnya dengan mengalikannya dengan angka tetap yang disebut rasio. Pemahaman mendalam tentang seri geometris, termasuk rumusnya dan bagaimana menerapkannya dalam masalah praktis, sangat penting bagi siapa saja yang ingin menguasai matematika secara komprehensif.

Memahami konsep dasar seri geometris

Seri geometris, juga dikenal sebagai urutan geometri, adalah komposisi angka yang memiliki pola multiplikasi yang konsisten antara suku -suku berurutan mereka. Pola multiplikasi ini diwakili oleh rasio (R.), yang merupakan faktor pengganda yang sama untuk setiap suku dalam seri. Dengan kata lain, setiap suku dalam seri geometri diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio tetap.

Untuk detail lebih lanjut, mari kita perhatikan contoh sederhana. Misalkan kita memiliki seri geometri dengan istilah pertama (A) adalah 2 dan rasio (R.) adalah 3. Kemudian, seri geometri akan terlihat seperti ini: 2, 6, 18, 54, 162, dan sebagainya. Dapat dilihat bahwa setiap suku diperoleh dengan mengalikan istilah sebelumnya dengan 3. Misalnya, 6 = 2 x 3, 18 = 6 x 3, 54 = 18 x 3, dan seterusnya.

Baca juga: Persamaan Kuadratik: Formula dan Contoh Penyelesaian

Secara umum, seri geometri dapat ditulis sebagai berikut:

A, Ar, Ar², Ar³, Ar⁴…

Di mana:

Baca juga: Gerbang Logika: Memahami dasar logika dalam matematika

• A adalah istilah pertama
• R. adalah rasio
• Ar^N-1 adalah istilahnyaN

Penting untuk dicatat bahwa rasio (R.) bisa positif, negatif, atau fraksi. Jika rasionya positif, maka semua suku dalam seri akan memiliki tanda yang sama. Jika rasionya negatif, suku -suku dalam seri akan memiliki tanda yang bergantian (positif dan negatif). Jika rasionya merupakan fraksi, maka nilai suku dalam seri akan lebih kecil bersama dengan peningkatan jumlah etnis.

Rumus penting dalam seri geometris

Dalam memecahkan masalah yang terkait dengan seri geometris, ada beberapa formula penting yang perlu dipahami dan dikuasai. Rumus ini memungkinkan kami untuk menghitung berbagai parameter seri geometris, seperti istilah pertamaNjumlah N Istilah pertama, dan jumlah tidak untuk istilah (jika seri konvergen).

FormulaN

FormulaN Digunakan untuk menemukan nilai -nilai etnis tertentu dalam seri geometris tanpa harus menghitung semua suku sebelumnya. Formulanya adalah sebagai berikut:

Baca juga: Volume Piramida: Formula dan Contoh dalam Masalah Matematika

U_N = Ar^N-1

Di mana:

• U_N adalah istilahnyaN
• A adalah istilah pertama
• R. adalah rasio
• N adalah nomor suku yang ingin Anda temukan

Contoh: Tentukan istilah ke -7 dari seri geometri dengan istilah 3 pertama dan rasio 2.

Solusi: Menggunakan formulaNKami mendapatkan:

U₇ = 3 x 2^7-1 = 3 x 2⁶ = 3 x 64 = 192

Jadi, istilah ke -7 dari seri geometri adalah 192.

Nomor Formula N Istilah pertama

Nomor Formula N Istilah pertama digunakan untuk menghitung nilai total dari jumlah istilah pertama dalam seri geometris. Formulanya adalah sebagai berikut:

S_N = A(1 – R.^N) / (1 – R.), Untuk R. ≠ 1

Di mana:

• S_N adalah jumlahnya N istilah pertama
• A adalah istilah pertama
• R. adalah rasio
• N adalah jumlah suku yang akan ditambahkan

Jika R. = 1, lalu formula angka N Istilah pertama menjadi:

S_N = Na

Contoh: Hitung jumlah 5 istilah pertama dari seri geometris dengan istilah pertama 4 dan rasio 3.

Solusi: Menggunakan Nomor Formula N Istilah pertama, kita dapatkan:

S₅ = 4 (1 – 3⁵) / (1-3) = 4 (1-243) / (-2) = 4 (-242) / (-2) = 484

Jadi, jumlah 5 suku pertama dari seri geometri adalah 484.

Formula Jumlah Infinitas ke Suku

Rumus untuk jumlah infinitas hanya berlaku untuk seri geometri konvergen, yang merupakan seri yang rasionya antara -1 dan 1 (-1 r

S_∞ = A / (1 – R.), untuk -1 r

Di mana:

• S_∞ adalah jumlah yang tidak untuk suku
• A adalah istilah pertama
• R. adalah rasio

Contoh: Tentukan jumlah informan dari seri geometri dengan istilah pertama 6 dan rasio 1/2.

Solusi: Menggunakan formula untuk jumlah infinitas, kami mendapatkan:

S_∞ = 6 / (1 – 1/2) = 6 / (1/2) = 12

Jadi, jumlah tidak ke suku dari seri geometri adalah 12.

Contoh pertanyaan dan diskusi seri geometris

Untuk memperdalam pemahaman tentang seri geometris, berikut adalah beberapa contoh pertanyaan dan diskusi mereka:

Masalah 1: Seri geometri memiliki istilah 6 dan kelima terakhir 48. Tentukan istilah pertama dan rasio seri.

Diskusi:

Diketahui:

Kita bisa menggunakan formulaN untuk membentuk dua persamaan:

• U₂ = Ar = 6 (Persamaan 1)
• U₅ = Ar⁴ = 48 (Persamaan 2)

Untuk menemukan nilai A Dan R.kita dapat membagi Persamaan 2 dengan Persamaan 1:

(Ar⁴) / (Ar) = 48/6

R.³ = 8

R. = 2

Setelah mendapatkan nilai R.kita dapat menggantikannya ke dalam persamaan 1 untuk menemukan nilai A:

A(2) = 6

A = 3

Jadi, istilah pertama dari seri adalah 3 dan rasionya adalah 2.

Masalah 2: Jumlah infinitas ke seri geometri adalah 20, dan istilah pertama adalah 5. Tentukan rasio seri.

Diskusi:

Diketahui:

Kita dapat menggunakan rumus untuk jumlah infinitas untuk menemukan nilai R.:

S_∞ = A / (1 – R.)

20 = 5 / (1 – R.)

20 (1 – R.) = 5

1 – R. = 5/20

1 – R. = 1/4

R. = 1 – 1/4

R. = 3/4

Jadi, rasio seri adalah 3/4.

Masalah 3: Sebuah bola jatuh dari ketinggian 12 meter. Setiap kali Anda bangkit, bola mencapai ketinggian 2/3 dari ketinggian sebelumnya. Tentukan panjang jalur bola sampai berhenti.

Diskusi:

Masalah ini melibatkan konsep seri geometri tak terbatas. Panjang jalur bola terdiri dari jalan setapak ketika bola jatuh dan jalan ketika bola memantul.

Jalur saat bola jatuh: 12 + 12 (2/3) + 12 (2/3)² + …

Jalur saat bola memantul: 12 (2/3) + 12 (2/3)² + 12 (2/3)³ + …

Kedua jalur ini membentuk seri geometri tak terbatas oleh:

• Istilah pertama (A) untuk jalur jatuh = 12
• Istilah pertama (A) Untuk jalur memantul = 12 (2/3) = 8
• Rasio (R.) = 2/3

Jumlah jalur saat bola jatuh:

S_∞ = 12 / (1 – 2/3) = 12 / (1/3) = 36

Jumlah jalur saat bola memantul:

S_∞ = 8 / (1 – 2/3) = 8 / (1/3) = 24

Panjang Jalur Total = Jumlah Jalan Jatuh + Jumlah Jalur Memantul = 36 + 24 = 60

Jadi, panjang jalur bola sampai berhenti adalah 60 meter.

Penerapan seri geometri dalam kehidupan sehari -hari

Konsep seri geometri tidak hanya terbatas pada dunia matematika abstrak, tetapi juga memiliki banyak aplikasi praktis dalam kehidupan sehari -hari. Berikut beberapa contoh:

• Perhitungan bunga majemuk: Di dunia keuangan, perhitungan bunga majemuk menggunakan prinsip seri geometri. Bunga yang diperoleh pada periode sebelumnya ditambahkan ke pokok pinjaman, sehingga bunga yang diperoleh pada periode berikutnya akan lebih besar. Proses ini terus berulang, membentuk seri geometris dengan rasio yang lebih besar dari 1.
• Pertumbuhan Populasi: Di bidang biologi dan demografi, pertumbuhan populasi sering dimodelkan menggunakan seri geometris. Jika populasi tumbuh dengan tingkat pertumbuhan yang konstan setiap tahun, jumlah populasi pada tahun -tahun berikutnya akan membentuk seri geometri.
• Pembusukan Radioaktif: Di bidang fisika nuklir, peluruhan radioaktif mengikuti pola seri geometris. Setiap zat radioaktif memiliki setengah -kehidupan tertentu, yang merupakan waktu yang dibutuhkan untuk setengah jumlah zat untuk membusuk. Setelah satu setengah kehidupan, jumlah zat yang tersisa adalah setengah dari jumlah awal. Setelah dua setengah kehidupan, jumlah zat yang tersisa adalah seperempat dari jumlah awal, dan seterusnya.
• Desain Fraktal: Di bidang seni dan desain, konsep seri geometri digunakan dalam membuat fraktal. Fractal adalah objek geometris yang memiliki struktur yang sama pada berbagai skala. Contoh fraktal terkenal adalah segitiga Sierpinski dan kurva Koch, yang dibuat dengan mengulangi pola geometris sederhana.
• Ekonomi: Dalam perekonomian, seri geometris dapat digunakan untuk menganalisis efek pengganda dari investasi pemerintah atau pengeluaran konsumen. Misalnya, jika pemerintah meningkatkan pengeluaran sebesar 1 miliar rupiah, peningkatan ini akan memicu peningkatan pendapatan untuk individu dan perusahaan yang terlibat dalam proyek. Peningkatan pendapatan ini kemudian akan dibelanjakan lagi, yang akan memicu peningkatan pendapatan lebih lanjut, dan sebagainya. Dampak total dari peningkatan pengeluaran pemerintah akan lebih besar dari 1 miliar rupiah, dan dapat dihitung menggunakan seri geometris.

Kiat dan Trik dalam Memecahkan Pertanyaan Seri Geometris

Berikut adalah beberapa tips dan trik yang dapat membantu Anda dalam menyelesaikan pertanyaan seri geometri:

• Pahami konsep dasarnya: Pastikan Anda memahami konsep dasar seri geometris, termasuk definisi, formula, dan propertinya.
• Identifikasi informasi yang diketahui: Baca pertanyaan dengan cermat dan identifikasi informasi yang diketahui, seperti istilah pertama, rasio, jumlah suku, atau bilangan yang tak terbatas.
• Pilih formula yang tepat: Pilih formula yang tepat sesuai dengan informasi yang diketahui dan apa yang diminta dalam masalah tersebut.
• Nilai pengganti dengan benar: Ganti nilai -nilai yang diketahui dengan rumus dengan benar.
• Sederhanakan Persamaan: Sederhanakan persamaan yang diperoleh untuk menemukan nilai yang diminta.
• Periksa ulang jawaban: Periksa kembali jawaban Anda untuk memastikan bahwa jawabannya masuk akal dan sesuai dengan konteks masalah.
• Latihan: Latihan pertanyaan secara teratur untuk meningkatkan pemahaman dan keterampilan Anda dalam menyelesaikan pertanyaan seri geometris.
• Gunakan kalkulator: Gunakan kalkulator untuk membantu Anda dalam perhitungan yang kompleks, terutama jika melibatkan angka desimal atau eksponen yang besar.
• Buat Catatan: Buat catatan tentang formula penting dan contoh -contoh pertanyaan untuk memfasilitasi Anda dalam belajar dan mengingat.
• Diskusikan dengan teman: Diskusikan pertanyaan sulit dengan teman atau guru untuk mendapatkan perspektif yang berbeda dan solusi yang lebih efektif.

Kesimpulan

Seri geometri adalah konsep matematika yang penting dan memiliki banyak aplikasi praktis di berbagai bidang. Dengan memahami konsep -konsep dasar, formula, dan contoh masalah, Anda dapat menguasai seri geometri dan menerapkannya dalam memecahkan masalah matematika dan kehidupan sehari -hari. Jangan lupa untuk terus berlatih dan mengembangkan keterampilan Anda dalam menyelesaikan pertanyaan seri geometris untuk menjadi lebih mahir dan percaya diri. (I-2)